Soal Dan Jawaban OSN Matematika SMP tingakt Propinsi tahun 2011

Soal OSN Matematika SMP Tingkat Propinsi Tahun 2011. Soal-soalnya adalah sebagai berikut.

SOAL ISIAN
1. Jika x adalah jumlah 99 bilangan ganjil terkecil yang lebih besar dari 2011 dan y adalah jumlah 99 bilangan genap terkecil yang lebih besar dari 6, maka x + y adalah..
Jawab :

X = 2013 + 2015 + … + 2209 = (2013 + 2209) = 99 x 2111
Y = 8 + 10 + …. + 204 = (8 + 204) = 99 x 106
X + Y = 99 x 2217 = 221700 – 2217 = 219483
2. Jika f adalah fungsi sehingga f(xy)= f(x-y) dan f(6) =1, maka f(-2)-f(4) =….
Jawab :
1 = f(6) = f(2 x 3) = f(2 – 3) = f(-1) = f(-1 x 1) = f(-1 -1) = f(-2)
1 = f(6) = f(6 x 1) = f(6 – 1) = f(5) = f(5 x 1) = f(5 – 1) = f(4)
Sehingga f(-2)-f(4) = 0
3. Jika bilangan bulat x dan y dibagi 4, maka bersaisa 3. jika bilangan x-3y dibagi 4, maka bersisa…..
Jawab :
X = 4k + 3
Y = 4l + 3
3Y = 12l + 9
X – 3Y = 4k – 12l – 6
4k dan 12l habis dibagi 4 sedangkan 6 bersisa 2 jika dibagi 4
Maka sisanya pasti 2
4. Diketahui bilangan bulat positif n memiliki sifat-sifat berikut.

• 2 membagi n,
• 3 membagi n+1,
• 4 membagi n+2,
• 5 membagi n+3,
• 6 membagi n+4,
• 7 membagi n+5,
• 8 membagi n+6.

Bilangan bulat positif pertama yang memiliki sifat-sifat ini adalah 2. Tentukan bilangan bulat positif ke-5 yang memenuhi sifat-sifat diatas
Jawab :

• 2 membagi n, berarti  n genap
• 3 membagi n + 1, berarti n + 1 kelipatan 3

n = 2, 8, 14, ….          → Un = 6n – 4

• 4 membagi n+2, berarti n + 1 kelipatan 4

N = 2, 6, 10, …           → Un = 4n – 2

• 5 membagi n+3, berarti n + 1 kelipatan 5

N = 2, 12, 22, …         → Un = 10n – 8

• 6 membagi n+4, berarti n + 1 kelipatan 6

N = 2, 8, 14, …           → Un = 6n – 4

• 7 membagi n+5, berarti n + 1 kelipatan 7

N = 2, 16, 30, …         → Un = 14n – 12

• 8 membagi n+6. berarti n + 1 kelipatan 8

N = 2, 10, 18, …         → Un = 8n – 6 = 2 (4n – 3)
Maka terdapat 5 persamaan, Un = 6n – 4, Un = 4n – 2, Un = 10n – 8, Un = 14n – 12, dan Un = 8n – 6
Unsur yang sama dari Un = 6n – 4 dan Un = 4n – 2, memenuhi Un = ½ (6x 4) – 10 = Un = 12n – 10
Unsur yang sama dari Un = 12n – 10 dan Un = 10n – 8, memenuhi Un = ½ (12x 10) – 58 = Un = 60n – 58
Unsur yang sama dari Un = 60n – 58 dan Un = 14n – 12, memenuhi Un = ½ (60x 14) – 538 = Un = 540n – 538
Unsur yang sama dari Un = 540n – 538 dan Un = 8n – 6, memenuhi Un = ½ (540x 8) – 2158 = Un = 2160n – 2158
Sehingga Unsur kelima yang sama adalah 2160 x 5 – 2158 = 8642
5. Diketahui budi adalah siswa laki-laki dan wati adalah seorang siswa perempuan. saat ini mereka duduk dikelas IX pada suatu sekolah. mereka mencatat banyak siswa kelas IX disekolah mereka. Wati mencatat,3/20 dari total siswa dikelas IX adalah laki-laki. sedangkan menurut catatan budi, 1/7 dari total siswa dikelas IX selain dirinya adalah laki-laki. banyak siswa laki-laki disekolah mereka adalah…
Jawab :
Misalkan jumlah siswa seluruhnya = x dan banyak laki-laki = l
Dari catatan Wati, l = 3/20 x
Dari catatan Budi, l – 1 = 1/7 (x – 1)
Kedua persamaan digabungkan,
3/20 x – 1 = 1/7 x – 1/7
3/20 x = 1/7 x + 6/7
21 x = 20 x + 120
x = 120
Maka l = 3/20 x 120 = 18
6. Tiga bilangan a,b,dan c dipilih sehingga ketika setiap bilangan ke rata-rata dua bilangan lainnya maka berturut-turut hasilnya adalah 80,90, dan 100. Rata-rata dari a, b, dan c adalah…
Saya kurang jelas dengan soal yang ini
7. Sebuah bilangan bulat x diambil secara acak dari ( x │ -5 ≤ x ≤ 10, x bilangan bulat ). peluang bahwa x adalah penyelesaian pertidaksamaan “akar dari (x² – 3x) ≤ 2″  adalah….
Jawab ;
 “akar dari (x² – 3x) ≤ 2″  , x² – 3x ≤ 4 atau x² – 3x – 4 ≤ 0
Dan penyelesaian persamaanya adalah x = 4 atau x = -1
Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan kita dapat mengambil x = 0 sebagai penguji dan diperoleh -4 ≤ 0 (benar)
Sehingga penyelesaian pertidaksaam tersebut adalah -1 ≤ x ≤ 4, dengan banyak x sebagai bilangan bulat yang memenuhi adalah 6
Sementara itu banyak nilai x dalam himpunan ( x │ -5 ≤ x ≤ 10, x bilangan bulat ) adalah 16
Sehingga peluangnya adalah 6/16 atau 3/8
SOAL URAIAN
1. Saat ini umur agus dan umur fauzan kurang dari 100 tahun. jika umur agus dan umur fauzan ditulis secara berurutan, maka diperoleh suatu bilangan empat digit (angka) yang merupakan kuadrat sempurna. dua puluh tiga tahun kemudian, jika umur mereka ditulis dengan cara yang sama, mka diperoleh bilangan empat digit lain yang juga merupakan kuadrat sempurna. jika umur mereka diasumsikan merupakan bilangan bulat positif, berapakah umur mrk saat ini?
Jawab
Misalkan umur Agus = ab dan umur Fauzan = cd
abcd = p² atau 1000a + 100b + 10c + d = p²
Setelah 23 tahun
1000a +2000 +100b + 300 + 10c + 20 + d + 3 = q²
1000a + 100b + 10c + d + 2323 = q²
p² + 2323 = q²
q² – p² = 2323
(q – p)(q + p) = 23 x 101 (23 dan 101 prima)
q + p = 101
q – p = 23,
Sehingga 2p = 78, p = 39
p² = 1521
Sehingga umur mereka saat ini adalah 15 dan 21
2. Pada sebuah segiempat ABCD, sudut ABC dan sudut DAC adalah sudut siku-siku. jika keliling segi empat ABCD adalah 64 cm, keliling ABC adalah 24 cm, dan keliling ACD adalah 60 cm, berapakah luas segiempat ABCD?
Jawab :
Keliling ABC = 24, maka AB + BC + AC = 24 atau AB + BC = 24 – AC
Keliling ACD = 60, maka AD + CD + AC = 60 atau AD + CD = 60 – AC
Kedua persamaan digabungkan (dijumlahkan),
AB + BC + AD + CD = 84 – 2AC, (ingat! AB + BC + AD + CD = keliling ABCD)
64 = 84 – 2AC atau AC = 10
Karena AC = 10, maka AB + BC = 14, dan ABC siku-siku dengan AC sisi miring, maka AB = 6 dan BC = 8 (atau sebaliknya)
Sehingga luas ABC = ½ x 6 x 8 = 24 cm²
Karena AC = 10, maka AD + CD = 50, dan karena ACD siku-siku dengan CD sisi miring, maka AD = 24 dan CD = 26 (ingat! 10² + 24² = 26²)
Sehingga luas ACD = ½ x 10 x 24 = 120 cm²
Maka luas segiempat ABCD = 144 cm²
3. Banyak bilangan 3 digit (angka) yang terdiri dari angka-angka 0,2,3,5,7,8 yang lebih dari 243 dan kurang dari 780 adalah….
Yang ini juga kurang jelas (kenapa ada 243?). apa daftarnya 0, 2, 3, 5, 7, 8 sudah benar?
4. Tiga garis lurus l₁, l₂, dan l₃ mempunyai gradien berturut-turut 3, 4, dan 5. ketiga garis tersebut memotong sumbu -Y dititik yang sama. jika jumlah absis titik potong masing-masing garis dengan sumbu -X adalah 47/60, tentukan persamaan garis l₁
Jawab :
Misalkan absis ketiga titik potong garis-garis l₁, l₂, dan l₃ terhadap sumbu-x berturut-turut adalah a, b, dan c. Dan ordinat titik potong ketiga garis dengan sumbu-y adalah p (pada satu titik yang sama)
Gradien l₁ = 3 = p/-a, sehingga a = -p/3
Gradien l₂ = 4 = p/-b, sehingga b = -p/4
Gradien l₃ = 5 = p/-c, sehingga c = -p/5
Ketiganya dijumlahkan,
a + b + c = -47p/60
47/60 = -47p/60 (karena a + b + c = jumlah absis titik potong masing-masing garis dengan sumbu -X)
Sehingga p = -1, dengan demikian a = 1/3 (untuk l₁)
Atau titik potong l₁ terhadap sumbu-x adalah (1/3,0) dan terhadap sumbu-y adalah (0,-1)
Sehingga persamaan garisnya adalah y = 3x – 1
5. Data akhir suatu kompetisi yang diikuti oleh tiga tim sepakbola, masing-masing tim saling berhadapan, dituliskan pada berikut.

Tim	Menang	Kalah	Seri	Gol(kemasukan-memasukan)
Elang	1	0	1	5 – 2
Garuda	1	0	1	4 – 3
Merpati	0	2	0	3 – 7

tim                   Menang         Kalah             Seri     Gol(memasukkan-kemasukan)
elang              1                      0          1          5 – 2
garuda           1                      0          1          4 – 3
merpati           0                      2          0          3 – 7
berapakah skor pertandingan antara tim garuda melawan tim merpati?
Jawab :
Berdasarkan tabel, diketahui :
Elang mengalahkan Merpati,
Garuda juga mengalahkan Merpati
Elang dan Garuda Seri
Total gol yang dimasukan tim elang dan garuda adalah 9, sedangkan total gol kemasukan pada tim merpati adalah 7, sehingga ada 2 gol yang mereka saling masukan diantara keduanya.
Dan kedua tim bermain seri, maka skor keduanya adalah 1 – 1
Sehingga skor Garuda melawan Merpati adalah 3 – 2 (masing-masing gol kemasukan dan memasukan dikurangi 1)