SOAL DAN PEMBAHASAN

1) MN adalah diameter sebuah lingkaran yang berpusat di titik O. Titik P terletak di luar lingkaran sehingga garis MP dan NP masing-masing memotong lingkaran di titik Q dan R. jika MP=MN=15 cm dan NP=18 cm. Tentukan panjang QR !

Jawab :
Karena MP=MN, maka

(MP^2 +NP^2 -MN^2)/(2.MP.NP)= (NO^2+NR^2 -RO^2)/(2.NO.NR)
(15^2+18^2-15^2)/(2*15*18)=(9^2+NR^2 -9^2)/(2*9*NR)
NR=10,8 maka PR=7,2
karena sgtiga MOQ dan MPN sebangun maka:
(MP^2+MN^2-NP^2)/(2.MP.MN)=(MQ^2+MO^2-OQ^2)/(2.MQ.MO)
(15^2+15^2-18^2)/(2*15*15)=(MQ^2+9^2-9^2)/(2*MQ*9)
MQ=2,8 maka PQ=12,2
Perhatikan sgitiga PQR dan MNP maka :
(PQ^2+PR^2-QR^2)/(2.PQ.PR)=(MP^2+NP^2-MN^2)/(2.MP.NP)
(12,2^2 +7,2^2 -QR^2)/(12,2 *7,2)=(15^2+18^2-15^2)/(15*18)
QR^2=95,272
maka ,
QR=9,76 cm

2) Diberikan a adalah bilangan bulat yang memenuhi 1+ 1/2+1/3+1/4+⋯+1/23=a/23!
Sisa dari a jika dibagi oleh 13 adalah ...

Jawab :
1+ 1/2+1/3+1/4+⋯+1/23=a/23!
a=23!(1+1/2+1/3+1/4+⋯+1/23)
Perhatikan bahwa :
23!=2^19 ∙ 3^9 ∙ 5^4 ∙ 7^3 ∙ 11^2 ∙ 13 ∙ 17 ∙ 19 ∙ 23.
Ini berarti 23! merupakan kelipatan 13 Sehingga
a=23!(1)+23!(1/2)+23!(1/3)+23!(1/4)+⋯+23!(1/23)≡(0+23!/13) mod 13
a≡(12!∙14∙15∙16∙17∙18∙19∙20∙21∙22∙23) mod 13
Dengan menggunakan Teorema Wilson bahwa jika p bilangan prima,
maka (p-1)!≡-1 mod p, diperoleh :
a≡(-1∙14∙15∙16∙17∙18∙19∙20∙21∙22∙23) mod 13.
a≡(-1∙1∙2∙3∙4∙5∙6∙-6∙-5∙-4∙-3) mod 13
a≡(-1∙2∙360^2 ) mod 13≡(-1∙2∙(-4)^2 ) mod 13
a≡-32 mod 13 ≡7 mod 13.
Jadi, a dibagi 13 bersisa 7.

3) Diketahui Persamaan X^2 - 8X + 6 = 0 memiliki akar-akar W dan F. Tentukan Nilai dari:
a. W^4 + F^4
b. (W/F) + (F/W)

Jawab :
Dari Persamaan x^2 - 8x + 6 = 0, didapatkan a=1, b=-8, c=6

Tahap awal:
1. W + F = -b/a = -(-8)/1 = 8
2. W . F = c/a = 6/1 = 6

Tahap kedua:
Agar lebih mudah kita cari dulu W^2 + F^2 !
W^2 + F^2
= (W+F)^2 - 2WF
= 8^2 - 2(6)
= 64 - 12
= 52

Tahap ketiga:
a. W^4 + F^4
= (W+F)^4 - WF (4W^2 + 4F^2 + 6WF)
= (W+F)^4 - 2WF{( 2(W^2 + F^2) ) + 3WF }
= 8^4 - 2.6 {( 2(52) ) + 3.6 }
= 4096 - 12 (101+18)
= 4096 - (1248 + 216)
= 4096 - 1464
= 2632

b. (W/F) + (F/W)
= (W^2 + F^2) /(WF)
= 52 / 6
= 8.67

ket : tanda ^ berarti pangkat, contoh 2^3(dibaca 2 pangkat 3).

4) Nilai dari V(1+39.40.41.42) adalah...

Jawab:
mengingat bahwa 1+(n-1)n(n+1)(n+2)=(n(n+1)-1)^2 maka
V(1+39.40.41.42) = 40(41)-1=1639

5) Tentukan himpunan penyelesaian dari -|x+5| < V(2x^2 + 13x + 15) !

Jawab :
 -|x+5| < V(2x^2 + 13x + 15)
-|x+5| - V(2x^2 + 13x + 15) < 0

Karena ruas kiri sudah jelas terlihat negatif, maka jelaslah juga < 0 dan pasti memenuhi untuk semua nilai x (kecuali -5), sehingga kita nggak perlu mengoperasikan lagi..

Tinggal syarat akar saja yg perlu kita cari, yaitu nilai yg diakarkan tidak boleh negatif, karena bisa mengakibatkan menjadi bil.imaginer, sehingga..
2x^2 + 13x + 15 >= 0
(2x+3)(x+5) >= 0

Dengan menggambar garis bilangan, didapat
x = -3/2

Tapi karena x tidak boleh = -5, maka himpunan penyelesaian yg sebenarnya menjadi..
x < -5 atau x >= -3/2

6) Jika x = (√3 + √7 - 4) / (√3 - √7 + 1) maka nilai x adalah ?

Jawab :
x= (√3 + √7 - 4) / (√3 - √7 + 1)

(√3 + √7)(√3 - √7) = - 4
Misal (√3 + √7) = y, maka (√3 - √7) = -4/y
=> x = (y-4)/(1 - 4/y) = (y-4) / [ (y-4)/y ] = y
maka, x = y = √3 + √7

7)  Jika panjang garis singging melalui (3,-2) pada lingkaran 2x^2 + 2y^2 - 3x + y - 5 = 0 adalah n maka jarak titik (n,5) ke garis 2x + 3y + 4 = 0 adalah...

Jawab:
2x^2 + 2y^2 - 3x + y - 5 =0
x^2 + y^2 - (3/2)x + (1/2)y - (5/2) = 0
(x - (3/4))^2 + (y + (1/4))^2 = 50/16
set (x,y) = (3,-2)
V((3 - (3/4))^2 + (-2 + (1/4))^2 - (50/16)) = V5
jadi panjang garis singgungnya V5
jarak titik (V5, 5) ke garis 2x + 3y + 4 = 0 adalah...
(2(V5) + 3(5) + 4)/(V(2^2 + 3^2))
= (2V5 + 19)/V13
atau
(1/13)(2V65 + 19V13)

8) Carilah nilai x yang memenuhi, agar deret 1 + 2^log sinx + 2'log 2^sinx + 2^log 3^sinx + ..., konvergen dg 0 < x < pi/2

Jawab :
Syarat deret geometri yak hingga konvergen adalah |r| < 1
r = 2^log sinx
|2^log sinx| < 1
-1 < 2^log sin x < 1
2^log 1/2 < 2'log sinx < 2'log2
1/2 < 2'log sinx < 2
pi/6 < x

r = 2^log sinx terdefinisi jika x > 0 atau 0 < x < pi

dari soal diket 0 < x < pi/2
maka dapat ditemukan irisannya adalah pi/6 < x < pi/2

jadi, nilai x yang memenuhi adalah pi/6 < x < pi/2

9) Tentukan hp dari 9^(x^log(x-1))^2 - 3 = 2 . 9^(2^log(x-1))

Jawab :
9^(x^log(x-1))^2 - 3 = 2 . 9^(x^log(x-1))
3^(x^log(x-1)))^4 - 2(3^(x^log(x-1)))^2 - 3

misal 3^(x^log(x-1)) = a, dengan a>0.
maka persamaan itu ekuivalen dg persamaan :
a^4 - 2a^2 - 3 = 0
a^2 = -1 (tdk mungkin) atau a^2 = 3
karena a > 0, maka a^2 = 3 , a = V3

utk a = V3 diperoleh :
3^(x^log(x-1)) = 3^(1/2)
x^log(x-1) = 1/2
x-1 = x^1/2
(x-1)^2 = x
x^2 - 2x + 1 = x
x^2 - 3x + 1 = 0

x = ( 3 +_ V5)/2
= (3 + V5)/2 memenuhi
= (3 - V5)/2 tdk memenuhi

Jadi hp nya adalah (3+V5)/2

10) Hasil kali semua nilai x yang memenuhi persamaan log (64 . 24^V(2^(x^2 - 40x)) = 0 adalah ...
[ket : 24^V akar pangkat 24 dr ..)

Jawab :
log (64 . 24^V(2^(x^2 - 40x)) = 0
log (64 . 24^V(2^(x^2 - 40x)) = log1
64 . 24^V(2^(x^2 - 40x)) = 1
2^{(x^2 - 40x)(1/4)} = 2^-6
x^2 - 40x + 24.6 = 0
x1.x2 = c/a
= (24.6)/1
= 144

11) Bilangan kompleks z memenuhi z + [z] = 2 + 8i. Berapakah [z]^2= . . . .

Jawab :
2+ 8i =z + [z]
2 + 8i = x + iy + V(x^2 + y^2)
2 + 8i = x + V(x^2 + y^2) + iy
Jadi y = 8 dan
x +V(x^2 + 64) = 2
kuadratkan jadi
4-2x+x^2 = x^2 +64
X= -15

[z]^2 = x^2 + y^2 = -15^2 + 8^2 = 289

12) Bentuk paling sederhana dari :
1/ (1 + a'log bc) + 1/ (1 + b'log ac) + 1/ (1 + c'log ab) adalah...

Jawab :
= 1/ (a'log a + a'log bc) + 1/ (b'log b + b'log ac) + 1/ (c'log c + c'log ab)
= 1/ (a'log abc) + 1/ (b'log abc) + 1/ (c'log abc)
= abc'log a + abc'log b + abc'log c
= abc'log abc
= 1

13)
abc+ab+ac+bc+a+b+c=1
bcd+bc+bd+cd+b+c+d=7
acd+ac+ad+cd+a+c+d=31
abd+ab+ad+bd+a+b+d=63
maka nilai dari ((a^d) + b.c) mod 10 adalah....

Jawab :

Tambahkan + 1 setiap ruas,
faktorkan
(a+1)(b+1)(c+1) = 2
(b+1)(c+1)(d+1) = 8
(a+1)(c+1)(d+1) = 32
(a+1)(b+1)(d+1) = 64

a+1 = w
b+1 = x
c+1 = y
d+1 = z

wxy = 2…..(1)
xyz = 8….(2)
wyz = 32….(3)
wxz = 64….(4)
 ________________x
(wxyz)^3= 2^15
wxyz=2^5 . . . .(5)

untuk mencari nilai d cari nilai z, bagi dengan persamaan ke 1
z = 2^5 : 2 = 16 maka d=16 – 1 =15
untuk mencari nilai c cari nilai y, bagi dengan persamaan ke 4
y= 2^5 : 64 = 1/2 maka c= -1/2
untuk mencari nilai b cari nilai x, bagi dengan persamaan ke 3
x= 2^5 : 32 = 1 maka b= 0
untuk mencari nilai a cari nilai w, bagi dengan persamaan ke 2
w= 2^5 : 8 = 4 maka a= 3
nilai ((a^d) + b.c) mod 10 = 3^15 + 0.(-1/2) mod 10 = 3^(3.4+3) mod 10= 3^3 mod 10 =27 mod 10 = 7 mod 10

14) Diketahui deret:
10 + 16 + 23 + 31 + ... + Un = Sn
Sehingga f(n) = Un + Sn + 5n + 5 dapat dituliskan dalam bentuk kombinasi. maka f(4) = ...

Jawab :
U1 = 10 = 1+2+3+4
U2 = 16 = 1+2+3+4 +6
U3 = 23 = 1+2+3+4 +6+7

Un = 1+2+3+4 +6+7+...+(n+4)
Un = ((n+4)(n+5)/2) - 5 atau (n+5)C2 - 5

S1 = 1+2+3+4
S2 = 2(1+2+3+4) +6
S3 = 3(1+2+3+4) + 2(6) + 7
S4 = 4(1+2+3+4) + 3(6) + 2(7) + 8

Sn = 10n + (n-1)6 + (n-2)7 + ... + (n-(n-1))(n+4)
Sn = 10n + 6n + 7n + 8n + ... + (n+4)n - (6 + 2.7 + 3.8 +...+ (n-1)(n+4))
Sn = n(10+6+7+8+9+10+...+(n+4)) - ((n-1)((n+2)C2) - (n-1)C3)

Sn = n((n+5)C2 - 5) - (n-1)((n+2)C2 + (n-1)C3
.
Un + Sn + 5n + 5 = (n+5)C2 - 5 + n((n+5)C2 - 5) - (n-1)((n+2)C2) + (n-1)C3 + 5n + 5

f(n) = (n+5)C2 + n((n+5)C2) - (n-1)((n+2)C2) +(n-1)C3
f(4) = 9C2 + 4(9C2) - 3(6C2) + 3C3
f(4) = 36 + 144 - 45 + 1
f(4) = 180- 44 = 136